Continuando as resoluções de exercícios sobre o princípio de indução, vamos ver aqui alguns "artifícios" que podemos ter para chegar nas igualdades.
Vamos começar provando que $ 1 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} $ para todo n $ \in $ $ \mathbb{N} $
Para começar uma demonstração por indução, devemos verificar o caso base. Como n é um número natural, começaremos por 1 (ou zero, dependendo do que você considerar).
Caso base: Para n = 1, temos $ \frac{1(1+1)(2.1+1)}{6} = \frac{6}{6} = 1 $. Como $ 1^2 = 1 $, podemos concluir que $ 1 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} $ é válido quando n = 1.
Passo de indução: Vamos fixar um n $ \in $ $ \mathbb{N} $ e assumir que $ 1 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} $. Nosso objetivo é verificar se para n+1 temos $ 1 + 2^2 + 3^2 + ... + (n+1)^2 = \frac{(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1)}{6} $ ou seja, $ 1 + 2^2 + 3^2 + ... + (n+1)^2 = \frac{(n+1)((n+2)(2n+3)}{6} $.
Temos:
$ 1 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 + (n+1)^2 $
Por hipótese de indução, temos $ 1 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} $, então substituindo,
$ 1 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 + (n+1)^2 = $
$ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1)^2 = $
$ \frac{n(n+1)(2n+1) + 6.(n+1)^2 }{6} = $
Aqui, vamos colocar (n+1) em evidência:
$ \frac{(n+1)[n(2n+1) + 6.(n+1)]}{6} = $
$ \frac{(n+1)[2n^2 + n + 6n + 6)]}{6} = $
$ \frac{(n+1)[2n^2 + 7n + 6)]}{6} = $
Agora, vamos escrever $ 2n^2 + n + 6n + 6 $ como $ 2n^2 + 4n + 3n + 6 $,
$ \frac{(n+1)[2n^2 + 4n + 3n + 6)]}{6} = $
Colocando (n + 2) em evidência, temos:
$ \frac{(n+1)[2n.(n + 2) + 3.(n + 2)]}{6} = $
$ \frac{(n+1)[(n + 2)(2n + 3)]}{6} $ como queríamos.
Desta forma, como é válido para n + 1, podemos concluir pelo Princípio de Indução que $ 1 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} $ é válido para todo n $ \in $ $ \mathbb{N} $.
