PRINCÍPIO DE INDUÇÃO - PROFMAT/PARTE 2

Continuando as resoluções de exercícios sobre o princípio de indução, vamos ver aqui alguns "artifícios" que podemos ter para chegar nas igualdades. 

Vamos começar provando que $ 1 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} $ para todo  n $ \in $ $ \mathbb{N} $

Para começar uma demonstração por indução, devemos verificar o caso base. Como n é um número natural, começaremos por 1 (ou zero, dependendo do que você considerar). 

Caso base: Para n = 1, temos $ \frac{1(1+1)(2.1+1)}{6} = \frac{6}{6} = 1 $. Como $ 1^2 = 1 $, podemos concluir que $ 1 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} $ é válido quando n = 1. 

Passo de indução: Vamos fixar um  n $ \in $ $ \mathbb{N} $ e assumir que $ 1 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} $. Nosso objetivo é verificar se para n+1 temos $ 1 + 2^2 + 3^2 + ... + (n+1)^2 = \frac{(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1)}{6} $ ou seja, $ 1 + 2^2 + 3^2 + ... + (n+1)^2 = \frac{(n+1)((n+2)(2n+3)}{6} $. 

Temos: 

$ 1 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 + (n+1)^2 $ 

Por hipótese de indução, temos $ 1 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} $, então substituindo, 

$ 1 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 + (n+1)^2 = $ 

$ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1)^2 = $ 

$ \frac{n(n+1)(2n+1) + 6.(n+1)^2 }{6} = $ 

Aqui, vamos colocar (n+1) em evidência: 

$ \frac{(n+1)[n(2n+1) + 6.(n+1)]}{6} = $ 

$ \frac{(n+1)[2n^2 + n + 6n + 6)]}{6} = $ 

$ \frac{(n+1)[2n^2 + 7n + 6)]}{6} = $ 

Agora, vamos escrever $ 2n^2 + n + 6n + 6 $ como $ 2n^2 + 4n + 3n + 6 $,

$ \frac{(n+1)[2n^2 + 4n + 3n + 6)]}{6} = $ 

Colocando (n + 2) em evidência, temos: 

$ \frac{(n+1)[2n.(n + 2) + 3.(n + 2)]}{6} = $ 

$ \frac{(n+1)[(n + 2)(2n + 3)]}{6} $  como queríamos. 

Desta forma, como é válido para n + 1, podemos concluir pelo Princípio de Indução que  $ 1 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} $ é válido para todo  n $ \in $ $ \mathbb{N} $.