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sexta-feira, 4 de dezembro de 2020

Poliedros de Platão e os elementos da natureza



É comum na literatura termos os elementos da natureza, elementos básicos que constituem o mundo, representados por símbolos, cores e até mesmo espíritos. Em Frozen 2 acompanhamos Elza em uma nova aventura onde ela vê os elementos da natureza em forma de criaturas. 

Um filósofo chamado Platão também via os elementos da natureza, mas não em forma de criaturas, ele via em forma de Poliedros. Você sabe o que são poliedros? 


Um Poliedro é uma reunião de um número finito de polígonos planos.


Esses polígonos são chamados de faces do poliedro. 

Além das faces, em um poliedro também temos: 


Em um poliedro é sempre possível “caminhar" pelas faces sem passar por nenhum vértice (cruzando apenas as arestas).


Os poliedros que iremos conhecer são chamados de Poliedros de Platão ou Poliedros regulares. Apesar de chamarmos assim, esses poliedros já existiam muito antes de Platão

Escócia, cerca de 3000 a.C.


Para um poliedro ser regular ele tem que

  • ser convexo 



  • suas faces serem polígonos regulares iguais












  • de cada vértice saem o mesmo número de arestas.



Platão nasceu em Atenas, hoje capital da Grécia, por volta de 428 a.C., e morreu no ano de 348 a.C. Foi um dos mais importantes filósofos grego e o grande responsável por divulgar os poliedros regulares que chamamos de Poliedros de Platão. 

Platão começou a pensar que relação os poliedros regulares tinham com o mundo e assim encontrou para cada poliedros regulares um elemento da natureza. 

Existem apenas 5 poliedros regulares e vamos conhece-los agora!





O tetraedro possui 4 faces triangulares, 4 vértices e 6 arestas. Para Platão, o tetraedro representava o elemento fogo. Se observarmos, o tetraedro pode lembrar uma chama 🔥. 


O cubro possui 6 faces quadradas, 8 vértices e 12 arestas. Para Platão, o cubo representava o elemento terra, pois era algo firme. 




O octaedro possui 8 faces triangulares, 6 vértices e 12 arestas. Para Platão, o octaedro representava o elemento ar, pois parece que o octaedro está flutuando. 




O icosaedro possui 20 faces triangulares, 12 vértices e 30 arestas. Para Platão, o icosaedro representava o elemento a água. 



E por fim, temos o dodecaedro que possui 12 faces pentagonais, 20 vértices e 30 arestas. Para Platão, o dodecaedro representava o universo.





O Matemático Johannes Kepler era apaixonado por geometria e tentou usá-la para explicar a posição dos planetas no universo. Para isso, utilizou os Poliedros de Platão para separar os planetas.  


O cubo para separar a esfera de Saturno da de Júpiter;
O tetraedro para separar a esfera de Júpiter da de Marte;
O dodecaedro entre a esfera de Marte e a da Terra;
O icosaedro entre a esfera da Terra e a de Vénus;
O octaedro entre a esfera de Vénus e a da Mercúrio. 

Devido a regularidade das faces, os poliedros de Platão são utilizados como dados em jogos de sorte, veja: 



Gostou de conhecer sobre esses poliedros? Compartilhe :) 

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quinta-feira, 20 de agosto de 2020

As desventuras de Johannes Kepler


Desventuras em série, uma coleção de livros escrita por Daniel Handler, conta a história dos três irmãos Baudelaire que perderam seus pais em um incêndio e que passam por situações terríveis após ficarem órfãos.

Ao ler os livros você nota a ficção, pois seria impossível ter crianças tão azaradas ao ponto de absolutamente tudo terminar em algo trágico para elas. Mas vou te contar uma história real de um matemático brilhante que passou por situações tão extremas quanto a dos irmãos Baudelaire. 


Mau começo - 1571


Johannes Kepler

Nossa história começa com uma bruxa. Bom, pelo menos para as pessoas daquela época a mãe de Johannes Kepler, Katharina Guldenmann, era considerada uma bruxa. Ela foi criada por sua tia que lhe ensinou sobre o mundo das ervas e curas, porém anos mais tarde sua tia foi queimada na fogueira acusada de bruxaria. 


Ela casou-se com Heinrich Kepler e teve seis filhos, mas apenas três sobreviveram. Johannes Kepler foi um dos sobreviventes, porém nasceu prematuro e fraco. Nascer assim foi apenas o começo das desventuras de Kepler, pois ainda na infância teve varíola que deixou suas mãos aleijadas e prejudicou sua visão além de doenças de pele que nunca cicatrizavam. 


Além das doenças, o dinheiro da família foi se esvaindo, o que levou Heinrich e Katharina a um relacionamento conturbado onde os dois possuíam um terrível mal-humor e Heinrich excedia no consumo de bebidas alcoólicas. Johannes Kepler chegou a descrever seu pai como “um homem cruel, condenado a um final ruim” e sua mãe como “fofoqueira e briguenta”. 


    Quando o dinheiro da família acabou Heinrich abandonou esposa e filhos o que levou a Katharina a se sustentar vendendo misturas de ervas para doenças comuns que os vizinhos diziam ser melhoradas com feitiços.


Kepler teve uma infância complicada com problemas de saúde, familiares e financeiros. Muitos nessas condições acabam se tornando adultos com sérios problemas emocionais. Porém, no escuro da noite Kepler encontrou um refúgio para sua dor. 



Descobrindo o céu 

Aos seis anos de idade Kepler observou com sua mãe o Grande Cometa de 1577 no céu noturno. Anos mais tarde viu seu primeiro eclipse lunar onde a lua "parecia bastante vermelha".  


 O Grande Cometa de 1577 sobre Praga

Kepler era excelente em matemática e adorava observar o céu. Ele também escrevia histórias de ficção cientifica sobre viagens a Lua e em uma de suas histórias, Somnium, há uma personagem sábia, mãe do personagem principal, que vende encantamentos mágicos e se comunica com um demônio (personagem bem semelhante com alguém desse post, não acha?). 


Em uma escola local iniciou seus estudos. Mas foi na Universidade de Tübingen que frequentou um curso de matemática onde provou ser um matemático excepcional o que lhe proporcionou uma posição de professor de matemática, ainda com 23 anos de idade. 


Ainda em Tübingen estudou astronomia com Michael Mästlin, um dos principais astrônomos. Naquela época eram conhecidos apenas seis planetas:  Mercúrio, Vênus, Terra, Marte, Júpiter e Saturno. 


Assim como Hipátia de Alexandria, Kepler era apaixonado por geometria e tentou usá-la para explicar a posição dos planetas no universo. Para isso, utilizou os Poliedros de Platão para separar os planetas.  


Poliedros de Platão


  • O cubo para separar a esfera de Saturno da de Júpiter;
  • O tetraedro para separar a esfera de Júpiter da de Marte;
  • O dodecaedro entre a esfera de Marte e a da Terra;
  • O icosaedro entre a esfera da Terra e a de Vénus;
  • O octaedro entre a esfera de Vénus e a da Mercúrio.  
Ele apresentou esse modelo no seu livro Mysterium, em 1596.


Foi assistente de Tycho Brahe, um astrônomo cuja morte foi relatada por Kepler que conta sobre um banquete que eles estavam e Brahe se recusou a deixar a mesa para se aliviar, pois não considerava uma atitude educada. Quando Brahe voltou para casa, ele não conseguia urinar e morreu 11 dias depois. Contam que Brahe perto de seu fim escreveu seu próprio epitáfio "Ele viveu como um sábio e morreu como um tolo”.


Após a morte de Brahe, Kepler assumiu seu lugar onde ganhou fama de louco dos signos, digo, astrólogo. Trabalhou para o imperador e uma de suas funções principais era fazer horóscopos, mas não era algo que o agradava. 

 


Casamento 


Para muitos o casamento costuma ser um momento de alegria e união. Barbara, já viuva de dois casamentos, queria se casar com Kepler, porém seus pais não aceitavam o casamento por conta das condições financeiras dele. Porém em 1597 os dois se casaram. Após casar, Barbara deu a luz a dois filhos que morreram na infância. Em 1602 nasceu uma menina seguida de dois meninos em 1604 e 1607. Seus filhos contraíram varíola e um deles morreu. Como se não bastasse, Barbara morreu um tempo depois. 


Kepler não desistiu de ter um relacionamento amoroso e em 1613 casou-se com Susanna com quem teve seis filhos (três morreram na infância). Segundo Howard Eves, "o seu segundo casamento não foi mais feliz do que o primeiro, ainda que ele tenha analisado com precaução os méritos e deméritos de onze raparigas, antes de escolher a errada”. 



Caça às bruxas 


A Europa estava no auge da caça às bruxas e qualquer boato era perigoso e poderia colocar a vida de uma mulher em perigo. Foi o que aconteceu com a mãe de Kepler. Uma vizinha acusou Katharina de ter envenenado ela com uma de suas poções.  


O procedimento para julgar se uma mulher era realmente uma bruxa envolvia torturas que poderiam resultar em morte. Essa situação levou Kepler a deixar de lado por um tempo suas pesquisas para defender sua mãe. 

Lembra que Kepler escreveu que Katharina era uma mulher briguenta? Pois então, Katharina resolveu confrontar seus acusadores o que não deu muito certo, pois ela foi presa acusada de prática de bruxaria. 


Kepler montou com seus advogados uma defesa com mais de 100 páginas destruindo os argumentos da promotoria que garantiu a absolvição de Katharina que não conseguiu aproveitar sua liberdade, pois morreu no ano seguinte. 



O fim


Kepler descobriu que as órbitas planetárias não eram círculos, mas sim elipses. Então, descreveu o movimento planetário por três leis conhecidas como “Leis de Kepler".


Seu fim chegou cedo após adoecer aos 58 anos, tempo suficiente para que sua mente brilhante fosse reconhecida e admirada. Apesar das dificuldades que enfrentou desde a infância, Kepler nunca desistiu de estudar e desvendar os mistérios do universo. 


Você conhece alguém que também passou por problemas na infância e que se tornou uma pessoa admirável? Compartilhe essa história com ela!




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quarta-feira, 19 de agosto de 2020

Características do sistema numérico decimal


O sistema de numeração decimal possui algumas características, além de possuir 10 algarismos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9) podemos notar que esse sistema possui:


  •  Base 10

O sistema de numeração é de base 10, pois agrupamentos são feitos de dez em dez (10, 20, 30, 40...). Conta-se que a base é 10 porque possuímos dez dedos e isso facilitava na contagem.

Se o sistema surgiu contando nos dedos, então não precisamos ter vergonha de utilizar os dedos para fazer os cálculos (eles podem servir como uma ótima calculadora).


  • Elemento neutro

Esse sistema possui o elemento neutro 0 para indicar uma “casa vazia”, por exemplo 302, 40.


  •  Posição

Observe o algarismo 2 no número 132. Neste número ele assume o valor dois, mas se mudarmos a posição 123 o algarismo 2 valerá vinte.


Vamos relembrar a posição dos algarismos nos números.


Unidades simples


O algarismo 1 vale cem, o algarismo 3 vale trinta e o algarismo 2 vale dois. Assim, 100 + 30 + 2 = 132.

Essas são as unidades simples. Vamos ver mais duas:


Unidades de milhar 

 400.000 + 50.000 + 6.000 = 456.000 mil 


Unidades de milhão


100.000.000 + 70.000.000 + 0 = 170.000.000 milhões


Se juntarmos os valores obtidos nas unidades de milhão, milhar e simples, temos 170 milhões, 456 mil e 132  (170.456.132).

Vamos conferir como a posição dos algarismos apareceu em questões do Enem.


ENEM 2012

João decidiu contratar os serviços de uma empresa por telefone através do SAC (Serviço de Atendimento ao Consumidor). O atendente ditou para João o número de protocolo de atendimento da ligação e pediu que ele anotasse. Entretanto, João não entendeu um dos algarismos ditados pelo atendente e anotou o número 13___98207, sendo que o espaço vazio é o do algarismo que João não entendeu.

De acordo com essas informações, a posição ocupada pelo algarismo que falta no número de protocolo é a de:

A) centena.

B) dezena de milhar. 

C) centena de milhar. 

D) milhão.

E) centena de milhão.


Resolução

Temos o número 13___98207, vamos organizá-lo na tabela das unidades.


O algarismo que João não entendeu ocupa a posição da centena de milhar. Alternativa correta: C

Agora aproveite para tentar resolver algumas questões, se não entender passe para o próximo e tente resolver mais tarde. O gabarito está ao final da seleção de questões.


Praticando com questões do Enem

1) O medidor de energia elétrica de uma residência, conhecido por “relógio de luz”, é constituído de quatro pequenos relógios, cujos sentidos de rotação estão indicados conforme a figura:


A medida é expressa em kWh. O número obtido na leitura é composto por 4 algarismos. Cada posição do número é formada pelo último algarismo ultrapassado pelo ponteiro. O número obtido pela leitura em kWh, na imagem, é:

A) 2614.

B) 3624. 

C) 2715. 

D) 3725. 

E) 4162


2) O ábaco é um antigo instrumento de cálculo que usa notação posicional de base dez para representar números naturais. Ele pode ser apresentado em vários modelos, um deles é formado por hastes apoiadas em uma base. Cada haste corresponde a uma posição no sistema decimal e nelas são colocadas argolas; a quantidade de argolas na haste representa o algarismo daquela posição. Em geral, colocam-se adesivos abaixo das hastes com os símbolos U, D, C, M, DM e CM que correspondem, respectivamente, a unidades, dezenas, centenas, unidades de milhar, dezenas de milhar e centenas de milhar, sempre começando com a unidade na haste da direita e as demais ordens do número no sistema decimal nas hastes subsequentes (da direita para esquerda), até a haste que se encontra mais à esquerda.

Entretanto, no ábaco da figura, os adesivos não seguiram a disposição usual.


Nessa disposição, o número que está representado na figura é: 

A) 46171.

B) 147016.

C) 171064.

D) 460171. 

E) 610741.


3) As empresas que possuem Serviço de Atendimento ao Cliente (SAC), em geral, informam ao cliente que utiliza o serviço um número de protocolo de atendimento. Esse número resguarda o cliente para eventuais reclamações e é gerado, consecutivamente, de acordo com os atendimentos executados.

Ao término do mês de janeiro de 2012, uma empresa registrou como último número de protocolo do SAC o 390 978 467. Do início do mês de fevereiro até o fim do mês de dezembro de 2012, foram abertos 22 580 novos números de protocolos. O algarismo que aparece na posição da dezena de milhar do último número de protocolo de atendimento registrado em 2012 pela empresa é:

A) 0. 

B) 2. 

C) 4. 

D) 6. 

E) 8.


GABARITO

1) A. 

2) D. 

3) A.




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terça-feira, 28 de julho de 2020

Hipátia - A primeira Matemática


Você já deve ter lido sobre os grandes estudiosos e percebeu que eles eram astrônomos, matemáticos, filósofos, teólogos, pintores, escultores e etc, pois dificilmente se contentavam com apenas uma área do conhecimento. 

Ao ler esse post você irá conhecer uma mulher que também não se contentou com apenas uma área do conhecimento. Vamos conhecer um pouco sobre Hipátia, a primeira matemática!



    Nossa história começa em Alexandria, considerada por muito tempo o centro da atividade matemática. Foi nesse ambiente onde o conhecimento era valorizado que por volta do ano 370 d.C. nasceu Hipátia.

    Hipátia era filha de Téon, matemático e astrônomo, o que garantiu a ela um professor particular de matemática e astronomia, pois desde pequena seu pai a ensinava sobre essas áreas. 

Imagem do filme - Alexandria (2009)

    Ela se interessou por Geometria. Na escola aprendemos geometria no sentido prático para medidas de comprimento, área e volume, mas a geometria que interessava a Hipátia era vista não com um sentido prático, mas com as abstrações e ideias.

    Sabe aquele momento em que nos dá vontade de aprender algo novo? Pois é, Hipátia passava por vários momentos assim e se interessou por poesia, filosofia, teologia e por oratória e na Academia de Alexandria pode explorar essas áreas. 

Imagem do filme - Alexandria (2009)

    Anos depois, Hipátia voltou a Academia de Alexandria como professora de matemática e filosofia onde era respeitada e com seu carisma, amada por seus alunos.

    Apesar do seu carisma e notável beleza, Hipátia não possuía nenhum relacionamento amoroso (a não ser com o conhecimento). Compartilhar o conhecimento foi a vida que Hipátia escolheu. 

Atenção: Se você quer uma história feliz pare por aqui, pois o fim de Hipátia não é escrito com palavras doces e alegres. A história dela não possui um final feliz!

O triste final

    Alexandria estava em meio a uma mistura turbulenta de crenças. Os cristãos que eram a maioria e os outros cidadãos que os cristãos chamavam de pagãos. Hipátia não era contra o cristianismo e aceitava todos os alunos não importava quais eram suas crenças. 

Imagem do filme - Alexandria (2009)

    Porém, Hipátia foi acusada de paganismo e por não rejeitar o racionalismo científico. Por uma multidão de cristãos ela foi despida e brutalmente cortada em pedaços e em seguida queimada. 

    Apesar de todos seus feitos e estudos, Hipátia costuma ser lembrada pela forma cruel e covarde que morreu. Então que tal você contar para alguém sobre a brilhante matemática, filósofa, poetisa, astrônoma, teóloga, oradora e outras coisas que foi Hipátia?


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